Kalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan sifat distributif.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

Langkah 1.2.2

Kalikan $100$ dengan $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

Langkah 1.3

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

Langkah 3

Evaluasi $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $20$ dengan $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

Langkah 3.3.1.3

Tambahkan $40$ dan $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $420$ dengan $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

Langkah 3.3.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$50 (\frac{17220}{3})$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $50$ dan $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Kalikan $50$ dengan $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

Langkah 3.3.2.4.2

Bagilah $861000$ dengan $3$ .

$287000$

Langkah 4

Evaluasi $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $20$ dan $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $20$ dengan $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 250 \cdot 420$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- 250$ dengan $420$ .

$- 105000$

Langkah 5

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(100) (20)$

Langkah 5.3

Kalikan $100$ dengan $20$ .

$2000$

Langkah 6

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$287000 - 105000 + 2000$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kurangi $105000$ dengan $287000$ .

$182000 + 2000$

Langkah 7.2

Tambahkan $182000$ dan $2000$ .

$184000$