Kalkulus Contoh

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Langkah 4

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.1.2

$\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$

Langkah 4.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x + 1) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Langkah 4.1.4.2

Bagilah $2 x + 1$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x + 1 = \frac{A {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Langkah 4.1.5.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(B) {(x + 2)}^{2}}{x + 2}$

Langkah 4.1.5.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 2)}^{2}$ dan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.1

Faktorkan $x + 2$ dari $(B) {(x + 2)}^{2}$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{x + 2}$

Langkah 4.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x + 1 = A + \frac{(x + 2) (B (x + 2))}{(x + 2) \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x + 1 = A + \frac{B (x + 2)}{1}$

Langkah 4.1.5.2.2.4

Bagilah $B (x + 2)$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = A + B (x + 2)$

Langkah 4.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 1 = A + B x + B \cdot 2$

Langkah 4.1.5.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $B$ .

$2 x + 1 = A + B x + 2 B$

Langkah 4.1.6

Susun kembali $A$ dan $B x$ .

$2 x + 1 = B x + A + 2 B$

Langkah 4.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = B$

Langkah 4.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + 2 B$

Langkah 4.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

$2 = B$

$1 = A + 2 B$

Langkah 4.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $B = 2$ .

$B = 2$

$1 = A + 2 B$

Langkah 4.3.2

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $2$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $1 = A + 2 B$ dengan $2$ .

$1 = A + 2 (2)$

$B = 2$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

$1 = A + 4$

$B = 2$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $A$ dalam $1 = A + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + 4 = 1$ .

$A + 4 = 1$

$B = 2$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $A$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 1 - 4$

$B = 2$

Langkah 4.3.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

$A = - 3$

$B = 2$

Langkah 4.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$A = - 3 B = 2$

Langkah 4.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = - 3, B = 2$

Langkah 4.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{B}{x + 2}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2}$

Langkah 4.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} + \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- (3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 8

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 9

Biarkan $u_{1} = x + 2$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{1} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 9.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- 3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 10

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- 3 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 10.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 10.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 3 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{x + 2} d x$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 13

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 13.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 13.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 13.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 13.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 13.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 14

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan.

$- 3 (- \frac{1}{u_{1}}) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$3 \frac{1}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 15.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{3}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 16.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x + 2} + 2 \ln (| x + 2 |) + C$