Kalkulus Contoh

$\arcsin (x)$

Langkah 1

Turunan dari $\arcsin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 - x^{2}}$ sebagai ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.7.3

Pindahkan ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.12

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.12.2

Kalikan $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Langkah 2.14

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.14.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Langkah 2.14.2

Gabungkan $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.14.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.14.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2.14.5

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$