Kalkulus Contoh

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Langkah 1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 (x - \frac{π}{3})$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

Langkah 1.2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 (x - \frac{π}{3})$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

Langkah 1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{π}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

Langkah 1.2.6

Karena $- \frac{π}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

Langkah 1.2.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

Langkah 1.2.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

Langkah 1.2.10

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

Langkah 1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

Langkah 1.3.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{π}{3}$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

Langkah 1.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 π$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

Langkah 1.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

Langkah 1.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

Langkah 1.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

Langkah 1.3.2.3.2.4

Bagilah $- π$ dengan $1$ .

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

Langkah 1.3.2.4

Tambahkan $0$ dan $9 \sin (3 x - π)$ .

$9 \sin (3 x - π)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 \sin (3 x - π)$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - π$ .

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.5

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$9 \sin (3 x - π) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $9 \sin (3 x - π) = 0$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $9 \sin (3 x - π) = 0$ dengan $9$ .

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin (3 x - π)$ dengan $1$ .

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $9$ .

$\sin (3 x - π) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$3 x - π = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$3 x - π = 0$

Langkah 7

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = π$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $3 x = π$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $3 x = π$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$3 x - π = π - 0$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$3 x - π = π$

Langkah 10.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = π + π$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$3 x = 2 π$

Langkah 10.3

Bagi setiap suku pada $3 x = 2 π$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2 π$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 10.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $3 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 \cos (π - π)$

Langkah 13.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$27 \cos (0)$

Langkah 13.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$27 \cdot 1$

Langkah 13.4

Kalikan $27$ dengan $1$ .

$27$

Langkah 14

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

Langkah 15.2.1.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Langkah 15.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

Langkah 15.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

Langkah 15.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

Langkah 15.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

Langkah 15.2.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{2 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

Langkah 17.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 \cos (2 π - π)$

Langkah 17.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$27 \cos (π)$

Langkah 17.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$27 (- \cos (0))$

Langkah 17.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$27 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.5

Kalikan $27 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$27 \cdot - 1$

Langkah 17.5.2

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$- 27$

Langkah 18

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

Langkah 19.2.1.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Langkah 19.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Langkah 19.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

Langkah 19.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

Langkah 19.2.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 19.2.1.6

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Langkah 19.2.1.6.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

Langkah 19.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Langkah 19.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ .

$(\frac{π}{3}, - 2)$ adalah minimum lokal

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ adalah maksimum lokal

Langkah 21