Kalkulus Contoh

$\sin (x^{2} y^{2}) = 3 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Langkah 2.8.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = 0$

Langkah 5.3

Kurangkan $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ dengan $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ dengan $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$