Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

Langkah 1

Bagilah $x$ dengan $x + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 10$

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

Langkah 1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

Langkah 5

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

Langkah 6

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = x + 10$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x + 10$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 7.1.4

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Langkah 7.3

Tambahkan $0$ dan $10$ .

$u_{lower} = 10$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

Langkah 7.5

Tambahkan $5$ dan $10$ .

$u_{upper} = 15$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $x$ pada $5$ dan pada $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

Langkah 9.2

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $15$ dan pada $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

Langkah 9.3

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

Langkah 10

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $15$ adalah $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

Langkah 11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $10$ adalah $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

Langkah 11.3

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

Langkah 11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Langkah 11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

Langkah 11.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

Bentuk Desimal:

$0.94534891 \dots$

Langkah 13