Kalkulus Contoh

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

Langkah 3.3.8

Kalikan ${(2 x + 1)}^{4}$ dengan $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{3}$ dari $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{3}$ dari $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{3}$ dari ${(2 x + 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan ${(2 x + 1)}^{3}$ dari ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $8 x$ dan $2 x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$