Kalkulus Contoh

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 y$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.5.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 2.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

Langkah 2.6.3

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

Langkah 2.7

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

Langkah 3

Karena $- 27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $20$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Langkah 5.2

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $3 y'$ dari $- 6 y y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $3 y'$ dari $- 9 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

Langkah 5.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y^{2} - 2 y - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1$

Langkah 5.3.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

Langkah 5.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ dengan $3 (y - 3) (y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ dengan $3 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$