Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 6.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 6.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 8

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Langkah 10

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 10.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 11

Gabungkan $\sin (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 13

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Langkah 17

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$