Kalkulus Contoh

$x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \cdot \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 5

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 7

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 9.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$