Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x) - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.2.6.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Langkah 1.3.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0^{2} - 2 \cdot 0}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Langkah 1.3.5.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.5.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - \cos (x) - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.6

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \cdot 1}$

Langkah 3.9.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 2 + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Langkah 6

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 10

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Langkah 12.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1 - 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1 - 2 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.1.4

Tambahkan $1 - 2$ dan $0$ .

$\frac{1 - 2}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.1.5

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{0 - 1 \cdot 2}$

Langkah 13.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 1}{0 - 2}$

Langkah 13.2.3

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{- 2}$

Langkah 13.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{1}{2}$