Kalkulus Contoh

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Langkah 1.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Langkah 1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $x + 8 x^{2}$ dengan $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $64$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.2

Pindahkan suku $8$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke dalam (Variabel2).

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke dalam (Variabel2).

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ dengan $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1.4.1

Faktorkan $8$ dari $8^{2}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.2.5.4

Bagilah $0$ dengan $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan suku $64$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke dalam (Variabel2).

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ dengan $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.5

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Langkah 3.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$64 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$64 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$64 (\frac{0}{0})$

Langkah 3.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.4.3

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Langkah 3.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} \cdot 64 - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Pindahkan $64$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.2

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.7.4

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Langkah 3.3.9

Tambahkan $128 x$ dan $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan suku $\frac{1}{128}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Langkah 4.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Langkah 4.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Langkah 4.4

Pindahkan suku $16$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Langkah 4.5

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Langkah 5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke dalam (Variabel2).

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- \frac{1}{8}$ ke dalam (Variabel2).

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $64$ dari $128$ .

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Langkah 6.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.3.1.2

Faktorkan $8$ dari $16$ .

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.3.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.4

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Langkah 6.5

Kalikan $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Langkah 6.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4$