Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Langkah 1.2

Ketika $x$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Langkah 1.3

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.9.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 3.10.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 3.10.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Langkah 3.11

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

Langkah 3.12

Kalikan $\frac{1}{\ln (x)}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

Langkah 3.13

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

Langkah 5

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

Langkah 6

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ dan $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 7

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.2.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.2.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.2.3

Tak hingga kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.3

Karena fungsi $\sqrt{x}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Langkah 7.1.3.2

Ketika $x$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Langkah 7.3.8

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 7.3.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 7.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Langkah 7.3.11

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Langkah 7.3.12

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 7.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 7.3.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.14.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Langkah 7.3.14.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Langkah 7.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Langkah 7.3.16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 7.3.17

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 7.3.18

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 7.3.19

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 7.3.20

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.5

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Langkah 8.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Langkah 8.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Langkah 9

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Langkah 10

Ketika $x$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\infty \cdot \infty$

Langkah 11.2

Tak hingga kali tak hingga hasilnya tak hingga.

$\infty$