Kalkulus Contoh

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \arctan (y)$ dan $g (y) = 4 x^{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

Langkah 3.6

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

Langkah 3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tambahkan $8 x x'$ dan $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

Langkah 3.7.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

Langkah 3.7.4

Gabungkan $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ dan $x'$ .

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Langkah 3.7.5

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Tulis kembali ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ sebagai $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.8.2.2

Perluas $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.8.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.8.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Langkah 3.8.2.3.2

Kurangi $12 x^{2}$ dengan $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Langkah 3.8.2.4

Tambahkan $9$ dan $1$ .

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Langkah 3.8.2.5

Faktorkan $2$ dari $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Langkah 3.8.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Langkah 3.8.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Langkah 3.8.2.5.4

Faktorkan $2$ dari $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Langkah 3.8.2.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.8.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Faktorkan $2$ dari $8 x x'$ .

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.8.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.8.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Langkah 5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ dengan $1$ .

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ dengan $4 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ dengan $4 x$ .

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 x^{4}$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{4}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.5

Bagilah $2 x^{3}$ dengan $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 12 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.4.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

Langkah 5.4.3.1.4.2.5

Bagilah $- 3 x$ dengan $1$ .

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$