Kalkulus Contoh

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5^{x} + 5^{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = 5^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Langkah 3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Langkah 5.1.2

Susun kembali $y'$ dan $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Langkah 5.1.3

Susun kembali $5^{x} \ln (5)$ dan $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Langkah 5.2.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Langkah 5.4

Tambahkan $- 5^{y} - 5^{x}$ dan $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Langkah 5.5

Kurangkan $\ln (5)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ dengan $\ln (5)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ dengan $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Langkah 5.6.3.1.3.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$