Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = a^{4} + x^{4}$ . Kemudian $d u = 4 x^{3} d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = a^{4} + x^{4}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a^{4} + x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 1.1.3

Karena $a^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $0$ dan $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $a^{4}$ dan $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Langkah 1.5

Tambahkan $a^{4}$ dan $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $2 a^{4}$ dan pada $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.9

Kalikan eksponen dalam ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Langkah 6.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $2^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ dan $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Langkah 7.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Langkah 7.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Langkah 7.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$