Kalkulus Contoh

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2

Selesaikan $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Bagi setiap suku pada $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Bagilah setiap suku di $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 1.2.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 1.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Langkah 1.2.1.3.2

Pisahkan pecahan.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Langkah 1.2.1.3.3

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Langkah 1.2.1.3.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Langkah 1.2.1.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.5.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Langkah 1.2.1.3.5.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Langkah 1.2.1.3.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Langkah 1.2.1.3.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Langkah 1.2.1.3.6

Pisahkan pecahan.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Langkah 1.2.1.3.7

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Langkah 1.2.1.3.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Langkah 1.2.1.3.9

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Langkah 1.2.1.3.10

Kalikan $\cos (x)$ dengan $\cos^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.10.1

Pindahkan $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Langkah 1.2.1.3.10.2

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.10.2.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Langkah 1.2.1.3.10.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Langkah 1.2.1.3.10.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Langkah 1.2.1.3.11

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Langkah 1.2.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tulis kembali $8 \cos^{3} (x)$ sebagai ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Langkah 1.2.4.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = 2 \cos (x)$ dan $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 1.2.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 1.2.4.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 1.2.4.4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Langkah 1.2.4.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 1.2.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.6

Atur $2 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $2 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Selesaikan $2 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (x) = 1$

Langkah 1.2.6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.6.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.7

Atur $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Atur $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 1.2.7.2

Selesaikan $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ untuk $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.7.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = 2$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.3.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 1.2.7.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.4.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.4.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 1.2.7.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4.5

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Langkah 1.2.7.2.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.5.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.7.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 1.2.7.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.5

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Langkah 1.2.7.2.5.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.7.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ benar.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Langkah 1.2.9

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.10

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 1.2.10.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.10.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.10.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.10.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 1.2.10.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 1.2.10.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 1.2.10.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 1.2.10.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.10.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.10.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.10.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.10.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.11

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Langkah 1.2.11.2

Kosinus balikan dari $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ tidak terdefinisi.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.12

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.12.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Langkah 1.2.12.2

Kosinus balikan dari $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ tidak terdefinisi.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Langkah 1.2.13

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $\frac{π}{3} + 2 π n$ untuk $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ untuk $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.4.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Langkah 1.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- \frac{π}{3}$ dan $\frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 3.3.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3.5

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3.6

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Langkah 3.8

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 3.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Evaluasi $\sin (x)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 3.9.1.2

Evaluasi $\tan (x)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.2.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.4

Kalikan $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.6

Tambahkan $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.8

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.9

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Langkah 3.9.3.10

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Langkah 3.9.3.11

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Langkah 3.9.3.12

Kalikan $- - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Langkah 3.9.3.12.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Langkah 3.9.3.13

Tambahkan $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Langkah 3.9.3.14

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.3.15

Kurangi $2 \sqrt{3}$ dengan $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$6 \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$10.39230484 \dots$

Langkah 5