Kalkulus Contoh

\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Langkah 1

Bagilah

$3 x^{2} + 2 x + 1$ dengan

$x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai

$0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Langkah 1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

$3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

$x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Langkah 1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

$3 x^{2} + 6 x$

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Langkah 1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Langkah 1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi

$- 4 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi

$x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Langkah 1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Langkah 1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam

$- 4 x - 8$

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Langkah 1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Langkah 1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 3

Karena

$3$ konstan terhadap

$x$ , pindahkan

$3$ keluar dari integral.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$x$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 5

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Langkah 7

Karena

$9$ konstan terhadap

$x$ , pindahkan

$9$ keluar dari integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 8

Biarkan

$u = x + 2$ . Kemudian

$d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

$u$ dan

$d$

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan

$u = x + 2$ . Tentukan

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan

$x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$x + 2$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 8.1.4

Karena

$2$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$2$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$1 + 0$

Langkah 8.1.5

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$1$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk

$x$ di

$u = x + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Langkah 8.3

Tambahkan

$- 1$ dan

$2$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk

$x$ di

$u = x + 2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Langkah 8.5

Tambahkan

$1$ dan

$2$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

$u_{lower}$ dan

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u$ ,

$d u$ , dan batas integral yang baru.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Langkah 9

Integral dari

$\frac{1}{u}$ terhadap

$u$ adalah

$\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi

$\frac{x^{2}}{2}$ pada

$1$ dan pada

$- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Langkah 10.2

Evaluasi

$- 4 x$ pada

$1$ dan pada

$- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Langkah 10.3

Evaluasi

$\ln (| u |)$ pada

$3$ dan pada

$1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.4

Kurangi

$1$ dengan

$1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.5

Hapus faktor persekutuan dari

$0$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.5.1

Faktorkan

$2$ dari

$0$ .

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.5.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.5.2.4

Bagilah

$0$ dengan

$1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.6

Kalikan

$3$ dengan

$0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.7

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.8

Kalikan

$4$ dengan

$- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.9

Kurangi

$4$ dengan

$- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 10.4.10

Kurangi

$8$ dengan

$0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Langkah 11

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$3$ adalah

$3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Langkah 12.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Langkah 12.3

Bagilah

$3$ dengan

$1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Bentuk Desimal:

$1.88751059 \dots$

Langkah 14