Kalkulus Contoh

$y = - 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x^{2} - \frac{2}{5} x^{- 4} + \frac{2}{3} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{- 4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \frac{2}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2}{5} x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$- 8 x - \frac{2}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$- 8 x + 4 (\frac{2}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{5}$ .

$- 8 x + \frac{4 \cdot 2}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.5

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.6

Gabungkan $\frac{8}{5}$ dan $x^{- 5}$ .

$- 8 x + \frac{8 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.3.7

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{2}{3} (4 x^{3})$

Langkah 1.4.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3}$

Langkah 1.4.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8}{3} x^{3}$

Langkah 1.4.5

Gabungkan $\frac{8}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 8 x + \frac{8}{5 x^{5}} + \frac{8 x^{3}}{3}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{8 x^{3}}{3} - 8 x + \frac{8}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{8}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{8 x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{24}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.2.6.2.4

Bagilah $8 x^{2}$ dengan $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{8}{5 x^{5}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\frac{8}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{8}{5 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{5}}$ sebagai ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Langkah 2.4.7

Kalikan $x^{- 10}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.7.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Langkah 2.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Langkah 2.4.7.3

Kurangi $10$ dengan $4$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{8}{5} (- 5 x^{- 6})$

Langkah 2.4.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{8}{5}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 5 \cdot 8}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.4.9

Kalikan $- 5$ dengan $8$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5} x^{- 6}$

Langkah 2.4.10

Gabungkan $\frac{- 40}{5}$ dan $x^{- 6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40 x^{- 6}}{5}$

Langkah 2.4.11

Pindahkan $x^{- 6}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 40}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 40$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.1

Faktorkan $5$ dari $- 40$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.12.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{6}$ .

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 (x^{6})}$

Langkah 2.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$8 x^{2} - 8 + \frac{5 \cdot - 8}{5 x^{6}}$

Langkah 2.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$8 x^{2} - 8 + \frac{- 8}{x^{6}}$

Langkah 2.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$8 x^{2} - 8 - \frac{8}{x^{6}}$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 8 x^{2} - \frac{8}{x^{6}} - 8$