Kalkulus Contoh

$\sqrt{x + 4 y^{2}} = y$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 4 y^{2}}$ sebagai ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 4 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 4 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.6.2.2

Pindahkan ${(x + 4 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Langkah 3.6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Langkah 3.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}])$

Langkah 3.6.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + 8 y y')$ .

$(1 + 8 y y') \frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $1 + 8 y y'$ dengan $\frac{1}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y'$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = y'$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Sederhanakan $\frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1 + 8 y y'}{2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + 8 y y'}{{(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + 8 y y' = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.4.1

Pindahkan $y$ .

$1 + 8 y' y = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.1.1.4.2

Susun kembali $1$ dan $8 y' y$ .

$8 y' y + 1 = y' (2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$8 y' y + 1 = 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y' y + 1 - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 6.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $8 y' y - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $8 y' y$ .

$2 y' (4 y) - 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Langkah 6.3.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 y' {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Langkah 6.3.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (4 y) + 2 y' (- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (4 y - 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali $- 1 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Langkah 6.3.5

Bagi setiap suku pada $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ dengan $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ dengan $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8 y$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.2.4

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1

Faktorkan $2$ dari $8 y - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 y$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) - 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.5.3.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 6.3.5.3.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (4 y) + 2 (- {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 6.3.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (4 y - {(x + 4 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$