Kalkulus Contoh

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Langkah 1

Tulis $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Kemudian $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 4.1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 4.1.4.2

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Langkah 4.1.4.3

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Langkah 4.1.4.4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\sin (2 x)$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 5

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Langkah 7

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$