Kalkulus Contoh

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Langkah 1

Tulis $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{3}{20}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{20} x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{20}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan $\frac{15}{20}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Faktorkan $5$ dari $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $20$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $\frac{3}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 x^{4}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.5

Gabungkan $\frac{12}{4}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $12 x^{3}$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.6.2.4

Bagilah $3 x^{3}$ dengan $1$ .

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{3} - 24 x^{2}$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$3 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{3} - 24 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x) - 24 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $- 24 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $3 x^{2}$ dari $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 8)$ .

$3 x^{2} (x - 8) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 8$ sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 x^{2} (x - 8) = 0$ benar.

$x = 0, 8$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{3}{20} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $\frac{3}{20}$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $8$ dalam $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot {(8)}^{5} - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $5$ .

$f (8) = \frac{3}{20} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$f (8) = \frac{3}{4 (5)} \cdot 32768 - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2.2

Faktorkan $4$ dari $32768$ .

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (8) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 8192) - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (8) = \frac{3}{5} \cdot 8192 - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{5}$ dan $8192$ .

$f (8) = \frac{3 \cdot 8192}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $8192$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 {(8)}^{4}$

Langkah 4.3.2.1.5

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 2 \cdot 4096$

Langkah 4.3.2.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $4096$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192$

Langkah 4.3.2.2

Untuk menuliskan $- 8192$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} - 8192 \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 4.3.2.3

Gabungkan $- 8192$ dan $\frac{5}{5}$ .

$f (8) = \frac{24576}{5} + \frac{- 8192 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (8) = \frac{24576 - 8192 \cdot 5}{5}$

Langkah 4.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Kalikan $- 8192$ dengan $5$ .

$f (8) = \frac{24576 - 40960}{5}$

Langkah 4.3.2.5.2

Kurangi $40960$ dengan $24576$ .

$f (8) = \frac{- 16384}{5}$

Langkah 4.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (8) = - \frac{16384}{5}$

Langkah 4.3.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{16384}{5}$ .

$- \frac{16384}{5}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $8$ dalam $f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4}$ adalah $(8, - \frac{16384}{5})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(8, - \frac{16384}{5})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (8, - \frac{16384}{5})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 3 {(- 0.1)}^{3} - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 0.1) = 3 \cdot - 0.001 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 {(- 0.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 24 \cdot 0.01$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 24$ dengan $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.24$

Langkah 6.2.2

Kurangi $0.24$ dengan $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.243$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.243$ .

$- 0.243$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.243$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 8)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = 3 {(4)}^{3} - 24 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (4) = 3 \cdot 64 - 24 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $64$ .

$f'' (4) = 192 - 24 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 16$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 24$ dengan $16$ .

$f'' (4) = 192 - 384$

Langkah 7.2.2

Kurangi $384$ dengan $192$ .

$f'' (4) = - 192$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 192$ .

$- 192$

Langkah 7.3

Pada $4$ , turunan kedua adalah $- 192$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, 8)$

Menurun pada $(0, 8)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(8, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $8.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (8.1) = 3 {(8.1)}^{3} - 24 {(8.1)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $8.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (8.1) = 3 \cdot 531.441 - 24 {(8.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $531.441$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 {(8.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $8.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 24 \cdot 65.61$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 24$ dengan $65.61$ .

$f'' (8.1) = 1594.323 - 1574.64$

Langkah 8.2.2

Kurangi $1574.64$ dengan $1594.323$ .

$f'' (8.1) = 19.683$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $19.683$ .

$19.683$

Langkah 8.3

Pada $8.1$ , turunan keduanya adalah $19.683$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(8, \infty)$ .

Meningkat pada $(8, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(8, - \frac{16384}{5})$ .

$(8, - \frac{16384}{5})$

Langkah 10