Kalkulus Contoh

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Langkah 6

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $x e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Langkah 7.2

Evaluasi $e^{x}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3.2

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3.5

Tambahkan $e$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Langkah 7.3.6

Sederhanakan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Langkah 7.3.7

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Langkah 7.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Langkah 8.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Langkah 8.2

Kurangi $e$ dengan $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Langkah 8.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Langkah 9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Langkah 9.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Langkah 10

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Langkah 10.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Langkah 10.2

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$A (x) = 1$

Langkah 11