Kalkulus Contoh

$\frac{1}{1 - e^{- x}}$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{1}{1 - e^{- x}}$ sebagai ${(1 - e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{- x})}^{- 1}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 1 - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 - e^{- x}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 3.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 3.5.2

Kalikan ${(1 - e^{- x})}^{- 2}$ dengan $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 5.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri ${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ({(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x})$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali $- 1 {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ sebagai $- {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- e^{- x} {(1 - e^{- x})}^{- 2}$

Langkah 6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- e^{- x} \frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$ dan $e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x}}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$