Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{3} - 15 x = x$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{3} - 15 x = x$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Langkah 1.2.1.2

Kurangi $x$ dengan $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Langkah 1.2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 1.2.6

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 4) (x - 4) = 0$ benar.

$x = 0, - 4, 4$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$y = - 4$

Langkah 1.4.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 4$

Langkah 1.5

Evaluasi $y$ ketika $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$y = 4$

Langkah 1.5.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4$

Langkah 1.6

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 4$ dan $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $x$ dengan $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Langkah 3.5

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 16$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Langkah 3.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Langkah 3.7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Evaluasi $\frac{1}{4} x^{4}$ pada $0$ dan pada $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Langkah 3.7.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $0$ dan pada $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.4

Kalikan $256$ dengan $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.5

Gabungkan $- 256$ dan $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.6.1

Faktorkan $4$ dari $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.6.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.6.2.4

Bagilah $- 64$ dengan $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.7

Kurangi $64$ dengan $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Langkah 3.7.2.3.10

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Langkah 3.7.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Langkah 3.7.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Langkah 3.7.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Langkah 3.7.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Langkah 3.7.2.3.11.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Langkah 3.7.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Langkah 3.7.2.3.13

Kurangi $8$ dengan $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Langkah 3.7.2.3.14

Kalikan $- 16$ dengan $- 8$ .

$- 64 + 128$

Langkah 3.7.2.3.15

Tambahkan $- 64$ dan $128$ .

$64$

Langkah 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 15$ dengan $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Langkah 5.3

Tambahkan $x$ dan $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Langkah 5.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Langkah 5.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Langkah 5.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Langkah 5.7

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Langkah 5.8

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Langkah 5.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Langkah 5.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Langkah 5.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Langkah 5.10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.2.2.4

Bagilah $64$ dengan $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.6

Tambahkan $64$ dan $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.9.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.10.2.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Langkah 5.10.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 5.10.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 5.10.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 5.10.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Langkah 5.10.2.3.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Langkah 5.10.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Langkah 5.10.2.3.13

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Langkah 5.10.2.3.14

Kalikan $16$ dengan $8$ .

$- 64 + 128$

Langkah 5.10.2.3.15

Tambahkan $- 64$ dan $128$ .

$64$

Langkah 6

Tambahkan $64$ dan $64$ .

$128$

Langkah 7