Kalkulus Contoh

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Langkah 1

Tulis $x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{\frac{x}{3}}$ .

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

Langkah 5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

Langkah 7

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 7.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

Langkah 8.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

Langkah 9

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

Langkah 10

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

Langkah 12

Tulis kembali $x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ sebagai $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{3}$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ .

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$