Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{\ln (5)}$ dan $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{\ln (5)}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{\ln (5)}$ keluar dari integral.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Langkah 4

Integral dari $5^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ dan $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.6

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.7

Evaluasi eksponennya.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.10

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Langkah 5.2.3.11

Tulis kembali $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ sebagai hasil kali.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Langkah 5.2.3.12

Kalikan $\frac{4}{\ln (5)}$ dengan $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Langkah 5.2.3.13

Naikkan $\ln (5)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Langkah 5.2.3.14

Naikkan $\ln (5)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Langkah 5.2.3.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Langkah 5.2.3.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Bentuk Desimal:

$1.56244626 \dots$

Langkah 7