Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arccos (x)$ dan $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Langkah 2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ dengan $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 5.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Langkah 5.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 5.5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 5.5.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Langkah 5.5.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 5.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Langkah 5.5.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 6.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 6.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 9.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 9.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 9.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\arccos (x) x$ pada $\frac{1}{2}$ dan pada $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Langkah 11.2

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $\frac{3}{4}$ dan pada $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\arccos (\frac{1}{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11.3.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11.3.3

Kalikan $0$ dengan $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11.3.4

Tambahkan $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ dan $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 11.3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Langkah 11.3.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Langkah 11.3.7

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 11.3.8

Gabungkan $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Langkah 11.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Langkah 11.3.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.11

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 11.3.12.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.2.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Langkah 12.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Langkah 12.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Langkah 12.1.5

Untuk menuliskan $- 3^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.6

Gabungkan $- 3^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8

Kalikan $3^{\frac{1}{2}}$ dengan $3$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.8.1

Pindahkan $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $3^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.8.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.8.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Langkah 12.1.9

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Langkah 12.1.10

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Langkah 12.1.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Langkah 12.1.12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Langkah 12.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 12.3

Kalikan $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Langkah 12.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Bentuk Desimal:

$0.65757337 \dots$