Kalkulus Contoh

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a + \frac{b}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Langkah 2.2

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

Langkah 2.4

Karena $b$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{b}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Langkah 2.5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Langkah 2.5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Langkah 2.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

Langkah 2.7

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

Langkah 3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $b$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{b}{x^{3}}$ dan $- 6$ .

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ dan ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ .

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.4

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $b$ .

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Langkah 3.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menuliskan $a$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.4.2

Gabungkan $b$ dan $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.5

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Langkah 3.3.7

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $b$ .

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Langkah 3.5

Gabungkan.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

Langkah 3.6

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

Langkah 3.7

Kalikan $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$