Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.1.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 1.1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.11.2

Kalikan $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Langkah 1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ sebagai ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Langkah 1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Langkah 1.2.1.2.2.2

Kalikan $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.2.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Langkah 1.2.1.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}]$

Langkah 1.2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.7.2

Gabungkan ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.7.3.2

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.2.7.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.2.7.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 1.2.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 1.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Langkah 1.2.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai yang ditemukan yang dapat membuat turunan keduanya sama dengan $0$ .

Tidak Ada Titik Belok