Kalkulus Contoh

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 0.5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x^{3} + 6 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 6 x^{2} = - 6$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 6 x^{2} = - 6$ dengan $- 6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 6 x^{2} = - 6$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 0.5$ dengan $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Langkah 3.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $- 0.5$ dan $3$ .

$f (1) = 2.5$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.5$ .

$2.5$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ adalah $(1, 2.5)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, 2.5)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Kalikan $- 0.5$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 0.5$ dan $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.5$ .

$2.5$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ adalah $(- 1, 2.5)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, 2.5)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 7.26$ dan $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.26$ .

$- 1.26$

Langkah 5.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 1.26$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $6$ .

$f'' (0) = 6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6$ .

$6$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 7.26$ dan $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.26$ .

$- 1.26$

Langkah 7.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 1.26$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Langkah 9