Kalkulus Contoh

$(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ dengan $(1 + e^{x}) y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x} = e^{x}$ dengan $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + e^{x}) y \cdot \frac{d y}{d x}}{(1 + e^{x}) y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{(1 + e^{x}) y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + e^{x}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{e^{x}}{y (1 + e^{x})}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.3.1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Langkah 2.3.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$e^{x}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Langkah 3.3

Sederhanakan $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Langkah 3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Langkah 3.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Langkah 3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Langkah 3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Langkah 3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$