Kalkulus Contoh

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sin (x) = 5 x$

Langkah 1.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = 0$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 5 (0)$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = 5 (0)$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 5 (0)$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $\frac{π}{2}$ dan $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Langkah 3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Langkah 3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Langkah 3.8

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Langkah 3.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Langkah 3.9.1.2

Evaluasi $- \cos (x)$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

Langkah 3.9.2.2

Tambahkan $- \cos (π)$ dan $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

Langkah 3.9.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

Langkah 3.9.2.4

Kalikan $\cos (π)$ dengan $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.3

Gabungkan.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.4

Kalikan $π^{2}$ dengan $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.5

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.6

Untuk menuliskan $\frac{π^{2}}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.7.1

Kalikan $\frac{π^{2}}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π^{2}$ .

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.10

Kurangi $π^{2}$ dengan $4 π^{2}$ .

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.11

Kalikan $5 \frac{3 π^{2}}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.11.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{3 π^{2}}{8}$ .

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

Langkah 3.9.3.11.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Langkah 3.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Langkah 3.10.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Langkah 3.10.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

Langkah 4