Kalkulus Contoh

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Langkah 1.1.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Langkah 1.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Langkah 1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali penjumlahannya.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Langkah 2

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Faktorkan $n$ dari $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Langkah 4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Langkah 4.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Langkah 4.2

Gabungkan $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ dan $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 4.3

Naikkan $n$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 4.4

Naikkan $n$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 4.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 4.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Langkah 4.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Langkah 4.7.2

Tulis kembali $n^{2} - 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Langkah 4.7.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = n$ dan $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$