Kalkulus Contoh

$y^{3} x^{5} = e^{3 x}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y^{3} x^{5}) = \frac{d}{d y} (e^{3 x})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y^{3}$ dan $g (y) = x^{5}$ .

$y^{3} \frac{d}{d y} [x^{5}] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{5}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$y^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$y^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$y^{3} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x]) + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$5 \cdot y^{3} x^{4} \frac{d}{d y} [x] + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + x^{5} (3 y^{2})$

Langkah 2.6

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{5}$ .

$5 y^{3} x^{4} x' + 3 \cdot x^{5} y^{2}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [3 x]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d y} [3 x]$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$e^{3 x} (3 x')$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{3 x} (3 x')$ .

$3 e^{3 x} x'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 e^{3 x} x'$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{3 x} x'$ .

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} = 3 x' e^{3 x}$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 x' e^{3 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{4} y^{3} x' + 3 x^{5} y^{2} - 3 x' e^{3 x} = 0$

Langkah 5.3

Kurangkan $3 x^{5} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Langkah 5.4

Faktorkan $x'$ dari $5 x^{4} y^{3} x' - 3 x' e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $x'$ dari $5 x^{4} y^{3} x'$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) - 3 x' e^{3 x} = - 3 x^{5} y^{2}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $x'$ dari $- 3 x' e^{3 x}$ .

$x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $x'$ dari $x' (5 x^{4} y^{3}) + x' (- 3 e^{3 x})$ .

$x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ dengan $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}) = - 3 x^{5} y^{2}$ dengan $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x})}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}} = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- 3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4} y^{3} - 3 e^{3 x}}$