Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{x y}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $f (x)$ adalah $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Langkah 5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $d$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Langkah 5.4

Kurangkan $y e^{x y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ dengan $x e^{x y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ dengan $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.2

Gabungkan.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.4

Kalikan $f$ dengan $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Langkah 5.5.3.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Langkah 5.5.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$