Kalkulus Contoh

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.1.2

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.1.4

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.1.5

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.3.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Langkah 1.3.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Langkah 1.3.1.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Langkah 1.3.1.5

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

Langkah 1.3.3.3

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.5

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \ln (3 x + 4)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{1}{3 x + 4}$ dan $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.10

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.11

Gabungkan $\frac{3}{3 x + 4}$ dan $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.12

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.13

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \tan (2 x + 2)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

Langkah 3.14

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = 2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Langkah 3.14.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Langkah 3.14.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Langkah 3.15

Hilangkan tanda kurung.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Langkah 3.16

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Langkah 3.17

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Langkah 3.18

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Langkah 3.19

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

Langkah 3.20

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

Langkah 3.21

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

Langkah 3.22

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{9}{3 x + 4}$ dengan $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{3}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 7

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 11

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 12

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Langkah 13

Pindahkan pangkat $2$ dari $\sec^{2} (2 x + 2)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

Langkah 14

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sekan kontinu.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Langkah 15

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Langkah 16

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Langkah 17

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Langkah 18

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Langkah 18.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Langkah 19

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Gabungkan.

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

Langkah 19.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Langkah 19.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Langkah 19.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Langkah 19.3.2

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Langkah 19.3.3

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

Langkah 19.3.4

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

Langkah 19.3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

Langkah 19.3.6

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Langkah 19.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2}$