Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Kemudian $d u = (6 x + 12) d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 12 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $6 x + 12$ dan $0$ .

$6 x + 12$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $3$ dan $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$u_{upper} = 16$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $16$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.6

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 5.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Langkah 5.2.10

Kurangi $2$ dengan $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Langkah 5.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $126$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.11.1

Faktorkan $3$ dari $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Langkah 5.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Langkah 5.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Langkah 5.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Langkah 5.2.11.2.4

Bagilah $42$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Langkah 5.2.12

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $42$ .

$\frac{42}{6}$

Langkah 5.2.13

Hapus faktor persekutuan dari $42$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.13.1

Faktorkan $6$ dari $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Langkah 5.2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.13.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Langkah 5.2.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Langkah 5.2.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7}{1}$

Langkah 5.2.13.2.4

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$7$

Langkah 6