Kalkulus Contoh

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- \frac{1}{24}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{4}{24}$ dan $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.6

Pindahkan $x^{- 5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.2.1

Faktorkan $4$ dari $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \frac{3}{20}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{20} x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Langkah 1.5

Karena $\frac{5}{18}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5}{18}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{6 x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{5}}$ sebagai ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.7

Kalikan $x^{- 10}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.7.3

Kurangi $10$ dengan $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.9

Gabungkan $\frac{- 5}{6}$ dan $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.10

Pindahkan $x^{- 6}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \frac{3}{20}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{20}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- \frac{5}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5}{6 x^{6}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{6}}$ sebagai ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Langkah 3.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Langkah 3.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Langkah 3.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan $6$ dengan $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Langkah 3.3.6

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Langkah 3.3.7

Kalikan $x^{- 12}$ dengan $x^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Pindahkan $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Langkah 3.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

Langkah 3.3.7.3

Kurangi $12$ dengan $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

Langkah 3.3.8

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

Langkah 3.3.9

Gabungkan $6$ dan $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

Langkah 3.3.10

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

Langkah 3.3.11

Gabungkan $\frac{30}{6}$ dan $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

Langkah 3.3.12

Pindahkan $x^{- 7}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

Langkah 3.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $30$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.13.1

Faktorkan $6$ dari $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Langkah 3.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.13.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

Langkah 3.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Langkah 3.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$