Kalkulus Contoh

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Langkah 1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Langkah 1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Langkah 1.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.4

Terapkan identitas pythagoras.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.5

Tulis kembali $4 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Langkah 3.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\cos (t)$ dan $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Langkah 3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (t)}$ ke $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Langkah 7

Integral dari $\csc (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$