Kalkulus Contoh

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 3$ dan $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Faktorkan $x^{2} + 4 x + 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $3$ dan jumlahnya $4$ .

$1, 3$

Langkah 1.1.3.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.3.3

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = - 1, - 3$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Langkah 4.1.2.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Langkah 4.2.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Langkah 4.2.2.2.2

Bagilah $6$ dengan $- 1$ .

$- 6$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Langkah 4.3.2.2

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Langkah 5