Kalkulus Contoh

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Kemudian $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$