Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \arctan (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ sehingga $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \arctan (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 2.1.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Langkah 2.5

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $\frac{π}{4}$ dan pada $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Langkah 5.2.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ dan $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Langkah 6.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Langkah 6.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π^{2}}{16}$

Bentuk Desimal:

$0.61685027 \dots$