Kalkulus Contoh

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Langkah 1.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Langkah 1.2.3

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Langkah 1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{1}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Langkah 1.2.6

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Langkah 1.2.8

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ dan $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Langkah 1.2.10

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Langkah 1.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Langkah 1.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Langkah 1.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Langkah 1.2.11.2.4

Bagilah $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ dengan $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Langkah 1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Langkah 1.3.2.3

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Langkah 1.3.2.4

Kurangi $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ dengan $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 2 π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ terhadap $x$ adalah $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{π}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.6

Karena $- \frac{π}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Langkah 2.3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Langkah 2.3.7.2

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Langkah 2.3.7.3

Gabungkan $\frac{π \cdot 2}{2}$ dan $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.5

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 2.8

Gabungkan $\frac{2 π^{2}}{2}$ dan $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Langkah 2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Langkah 2.9.2

Bagilah $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ dengan $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ dengan $- 2 π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ dengan $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Langkah 4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Langkah 4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Langkah 4.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Langkah 4.3.2

Bagilah $0$ dengan $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $\frac{π}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Langkah 7.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Langkah 7.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Langkah 7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Langkah 7.6

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Langkah 7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Langkah 7.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Langkah 7.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 8

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Faktorkan $π$ dari $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Langkah 9.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Langkah 9.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Langkah 9.2.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Langkah 10

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 11.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 11.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 11.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 11.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 11.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $\frac{π}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $\frac{3 π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Langkah 11.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Langkah 11.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $9 π$ dan $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Langkah 11.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Langkah 11.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Langkah 11.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Langkah 11.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1.1.1

Faktorkan $π$ dari $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Langkah 11.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Langkah 11.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Langkah 11.4.2.1.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Langkah 11.4.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Langkah 12

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{4}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.1.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.2

Untuk menuliskan $\frac{2 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{2 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Langkah 14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Langkah 14.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Langkah 14.5.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Langkah 14.6

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Langkah 14.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Langkah 14.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Langkah 14.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 14.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Langkah 14.8

Kalikan $π^{2}$ dengan $1$ .

$π^{2}$

Langkah 15

$x = \frac{4}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{4}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{4}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Langkah 16.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 16.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 16.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Langkah 16.2.1.4

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 16.2.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Langkah 16.2.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Langkah 16.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$y = - 6$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{10}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.2

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.2

Untuk menuliskan $\frac{5 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Kalikan $\frac{5 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Langkah 18.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Langkah 18.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Langkah 18.5.2

Kurangi $π$ dengan $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Langkah 18.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.6.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Langkah 18.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Langkah 18.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Langkah 18.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 18.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 18.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 18.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Langkah 18.10

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Langkah 18.11

Tulis kembali $- 1 π^{2}$ sebagai $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

Langkah 19

$x = \frac{10}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{10}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{10}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{10}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Langkah 20.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Langkah 20.2.1.3

Bagilah $9$ dengan $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Langkah 20.2.1.4

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Langkah 20.2.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Langkah 20.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 20.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 20.2.1.8

Kalikan $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Langkah 20.2.1.8.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Langkah 20.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Langkah 20.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 21

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ adalah minimum lokal

$(\frac{10}{3}, 2)$ adalah maksimum lokal

Langkah 22