Kalkulus Contoh

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \sqrt{7} \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{7} \cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\sqrt{7} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan ${\sqrt{7}}^{2}$ dari $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan ${\sqrt{7}}^{2}$ dari ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Susun kembali $7$ dan $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Langkah 2.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Langkah 2.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Langkah 2.2.5

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

Langkah 2.2.6

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

Langkah 2.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

Langkah 2.2.9

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Langkah 2.2.9.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Langkah 2.2.9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 2.2.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 2.2.9.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

Langkah 2.2.9.5

Evaluasi eksponennya.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

Langkah 2.2.10

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $\cos^{2} (t)$ .

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

Langkah 3

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $7$ .

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{7}}$ dengan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{7}}$ dengan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

Langkah 15.1.2.2

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

Langkah 15.1.2.3

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

Langkah 15.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

Langkah 15.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

Langkah 15.1.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{7}{2}$ dan $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Langkah 15.4

Kalikan $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kalikan $\frac{7}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 15.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{7}}$ dengan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{7}}$ dengan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.2

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.3

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Langkah 16.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$