Kalkulus Contoh

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Langkah 1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Langkah 2

Biarkan $u = \csc (x)$ . Kemudian $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ sehingga $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = \csc (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Langkah 2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Langkah 2.3.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 2.3.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Langkah 2.5.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Langkah 2.5.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Langkah 3

Tulis kembali $- 1 u$ sebagai $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $- \sqrt{2}$ dan pada $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 8.2.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Langkah 8.2.8

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Langkah 8.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Langkah 8.2.10

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Langkah 8.2.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Langkah 8.2.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2}$

Langkah 8.2.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$