Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.2.4

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 4.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Bentuk Desimal:

$1.21895141 \dots$