Kalkulus Contoh

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\sqrt{2 x - x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Langkah 4

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Langkah 4.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Langkah 4.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 4.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{- 1}$

Langkah 4.4.2.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Langkah 4.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 4.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 4.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Langkah 4.5.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Langkah 4.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e = 1$

Langkah 4.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Langkah 7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Susun kembali $- \sin^{2} (t)$ dan $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 7.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 7.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Langkah 7.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Langkah 7.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Langkah 7.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Langkah 8

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Langkah 12

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 15

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 16

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 17.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Langkah 17.4

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Langkah 17.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Langkah 18.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Langkah 18.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 18.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Langkah 19

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Langkah 20

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$