Kalkulus Contoh

$y = x + \frac{1}{4 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

Langkah 1.2.5

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

Langkah 1.3

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{4 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{4 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.12

Gabungkan $\frac{2}{4}$ dan $x^{- 3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.13

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.14.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

Langkah 4.1.2.5

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

Langkah 4.1.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$4 x^{2}, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$4 x^{2}$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ dengan $4 x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ dengan $4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4 x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - (4 x^{2})$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 1 = - 4 x^{2}$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x^{2} = - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x^{2} = - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.5.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.5.4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.5.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{4 x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Langkah 6.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.3.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{1}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{2}$ sebagai $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

Langkah 9.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2 {({(2^{1})}^{- 1})}^{3}}$

Langkah 9.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{1 \cdot - 1})}^{3}}$

Langkah 9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

Langkah 9.1.5

Kalikan eksponen dalam ${(2^{- 1})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 1 \cdot 3}}$

Langkah 9.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 3}}$

Langkah 9.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{1 - 3}}$

Langkah 9.1.7

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 9.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Langkah 9.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$1 \cdot 4$

Langkah 9.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 10

$x = \frac{1}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{1}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 11.2.1.2

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 1}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2}$

Langkah 11.2.2.2.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 1$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{1}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{2 {(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{2}$ sebagai $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{({(2^{1})}^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2^{1 \cdot - 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(2^{- 1})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{- 1 \cdot 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2^{- 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{- 3 + 1} {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.2.7

Tambahkan $- 3$ dan $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2} {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}} {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} {(- 1)}^{3}}$

Langkah 13.1.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

Langkah 13.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{- 1}{4}}$

Langkah 13.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Langkah 13.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Langkah 13.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Langkah 13.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$- (1 \cdot 4)$

Langkah 13.4

Kalikan $- (1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Langkah 13.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4$

Langkah 14

$x = - \frac{1}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{1}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 15.2.1.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 15.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 15.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 15.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 1}{2}$

Langkah 15.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{2}$

Langkah 15.2.2.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + \frac{1}{4 x}$ .

$(\frac{1}{2}, 1)$ adalah minimum lokal

$(- \frac{1}{2}, - 1)$ adalah maksimum lokal

Langkah 17