Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1.1

Kalikan $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8.1.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 4) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8.1.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.2.8.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Langkah 1.3.1.3

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (4 - 2 x) - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (4 - 2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 4 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.5

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.8

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 \sin (4 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.3.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Langkah 3.8

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + 0}$

Langkah 3.9

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{x}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 8

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 9

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 12

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{2}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Kalikan $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 \cdot 2)}{2}$

Langkah 14.1.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 4)}{2}$

Langkah 14.1.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (0)}{2}$

Langkah 14.1.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \cdot 0}{2}$

Langkah 14.1.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 0}{2}$

Langkah 14.1.5

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Langkah 14.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Langkah 14.3

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Langkah 14.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4}$